Cazadores
Operadores arbitrarios, criptoaritmética e inferencias

En 1890, Arthur Conan Doyle publicó El signo de los cuatro, la segunda novela de Sherlock Holmes. En ella, el detective le dice a su compañero Watson una frase que se convertiría en su lema, y en lema de cualquier persona que quiera pensar con rigor:

«Cuando has eliminado lo imposible, lo que queda, por improbable que sea, tiene que ser la verdad.»

Aquí seremos detectives matemáticos. El caso es el examen de admisión a la Universidad de Antioquia, y la estrategia se resuelve con tres herramientas. Las tres comparten un método: leer las reglas con cuidado, listar las posibilidades, eliminar las que contradicen las pistas, y nombrar lo que queda.

Primera herramienta: los operadores arbitrarios. Son reglas inventadas por el enunciado, que dan una manera nueva de combinar números. La operación se anuncia con un símbolo nuevo —triángulo, asterisco, círculo— y una fórmula. La tarea es sustituir los valores en la fórmula. Eso es todo.

Segunda herramienta: la criptoaritmética. Son sumas o multiplicaciones donde los dígitos se han reemplazado por letras. La regla universal: letras iguales son dígitos iguales, letras distintas son dígitos distintos. Hay que descubrir cuál corresponde a cuál.

Tercera herramienta: las inferencias lógicas. Son problemas donde se dan reglas del tipo "si pasa X, entonces pasa Y". La tarea es deducir qué es seguro, qué es imposible y qué queda indeterminado.

Las tres juntas representan un porcentaje significativo del examen UdeA: entre seis y diez preguntas de las cuarenta de razonamiento lógico. En este material las trabajamos como un solo bloque, porque comparten un método. Holmes hubiera estado de acuerdo.

Un operador arbitrario es una regla inventada por el enunciado, identificada con un símbolo nuevo —típicamente triángulo, asterisco, círculo, nabla o un símbolo cualquiera que el problema introduzca— y una fórmula que indica cómo combinar dos números.

Por ejemplo, el enunciado puede decir: "Se define la operación estrella entre números reales por: a estrella b igual a dos veces a más b". Esto significa que cada vez que veamos a estrella b, hay que reemplazar con dos veces el primer número más el segundo. Probemos con valores concretos: tres estrella cinco es dos por tres más cinco, que es seis más cinco, que es once.

Existen tres variantes que hay que reconocer:

• Fórmula directa: a estrella b igual a una expresión algebraica con a y b.
• Definición por casos: hay dos o más fórmulas según una condición (por ejemplo: "si a es mayor o igual que b entonces la regla es esta; en cambio si a es menor que b la regla es otra").
• Tabla finita: el operador está definido solo sobre un conjunto chico de valores y la regla es leer una tabla de doble entrada.

Enunciado del taller UdeA (item 1): Se define la operación triángulo entre números reales por la regla siguiente. a triángulo b es igual a, a por b dividido entre dos, todo eso multiplicado por la cantidad a más dos veces b.

¿Cuál es el valor de cinco triángulo seis?

Análisis paso a paso.

• Sustituimos: a igual a cinco, b igual a seis.
• Primera parte de la regla: a por b dividido entre dos es cinco por seis dividido entre dos, igual a treinta dividido entre dos, igual a quince.
• Segunda parte de la regla: a más dos veces b es cinco más doce, igual a diecisiete.
• Multiplicar: quince por diecisiete es doscientos cincuenta y cinco.

Respuesta: doscientos cincuenta y cinco, opción C en el taller UdeA.

Enunciado del taller UdeA (item 3): Se define la operación tilde por casos. Si p es menor que q, p tilde q es igual a p menos q, todo al cuadrado. En cambio, si p es mayor o igual que q, p tilde q es igual a p más, q sobre dos.

¿Cuál es el valor de tres medios tilde dos?

Análisis paso a paso.

• Identificar los valores: p igual a tres medios (que es uno coma cinco) y q igual a dos.
• Decidir el caso: ¿es p menor que q? Sí, porque uno coma cinco es menor que dos. Aplica el primer caso.
• Sustituir: p tilde q es igual a tres medios menos dos, todo al cuadrado.
• Calcular la resta: tres medios menos dos es menos un medio.
• Elevar al cuadrado: menos un medio al cuadrado es un cuarto.

Respuesta: un cuarto, opción B en el taller UdeA.

Enunciado del taller UdeA (item 5): Sea m triángulo n igual a la raíz cuadrada de tres veces m por n. ¿Cuál es el valor de la operación, abrir paréntesis, tres triángulo uno, cerrar paréntesis, triángulo cuatro?

Análisis paso a paso.

• Calcular primero el paréntesis interior: tres triángulo uno. Aplicamos la fórmula con m igual a tres y n igual a uno. Tres por tres por uno es nueve. Raíz cuadrada de nueve es tres.
• Ahora calculamos tres triángulo cuatro, donde el primer tres es el resultado del paréntesis y el cuatro viene del enunciado. Aplicamos la fórmula: tres por tres por cuatro es treinta y seis. Raíz cuadrada de treinta y seis es seis.

Respuesta: seis, opción D en el taller UdeA.

Enunciado del taller UdeA (item 10): Se define la operación triángulo sobre el conjunto cero, uno, dos, tres, mediante una tabla de cuatro filas y cuatro columnas. La regla equivalente a la tabla es: a triángulo b es igual al residuo de dividir a más b entre cuatro.

Tabla dictada: Por ejemplo, dos triángulo tres es cero porque dos más tres es cinco y cinco entre cuatro deja residuo uno... espera, leamos la tabla: fila dos, columna tres, dice "uno". Verifiquemos con la regla: dos más tres es cinco, cinco dividido entre cuatro es uno con residuo uno. Coincide.

Pregunta: ¿cuánto vale, abrir paréntesis, abrir paréntesis, cero triángulo uno, cerrar paréntesis, triángulo dos, cerrar paréntesis, triángulo tres?

Análisis paso a paso.

• Paréntesis más interior: cero triángulo uno. Fila cero, columna uno: uno.
• Siguiente: uno triángulo dos. Fila uno, columna dos: tres.
• Último paso: tres triángulo tres. Fila tres, columna tres: dos.

Respuesta: dos, opción C en el taller UdeA.

Verificación con la regla: cero más uno más dos más tres es seis. Seis dividido entre cuatro deja residuo dos. Coincide.

Un problema de criptoaritmética es una operación aritmética habitual —suma, resta, multiplicación, división— donde los dígitos se han reemplazado por letras o símbolos. La regla universal: letras iguales son dígitos iguales, letras distintas son dígitos distintos.

El criptograma más famoso, llamado S E N D más M O R E igual M O N E Y, fue propuesto por Henry Dudeney en mil novecientos veinticuatro en la revista Strand Magazine. La idea: cada letra es un dígito del cero al nueve, hay que descubrir cuál es cuál, y la suma debe quedar válida.

El método es deductivo, no de adivinanza. Las herramientas son:

• Acarreos: cuando dos columnas suman más de nueve, traslada un uno (o más) a la columna siguiente. Los acarreos son la pista decisiva.
• Cifra principal distinta de cero: el primer dígito de un número no puede ser cero. Esa restricción suele eliminar varias hipótesis.
• Columna más restringida: empezar por la columna con menos letras nuevas, donde las posibilidades se reducen más rápido.
• Factorización: en multiplicaciones, factorizar el resultado en sus divisores acota drásticamente las opciones.

El criptograma se resuelve por eliminación, como Holmes: las hipótesis que contradicen alguna pista se descartan, las que sobreviven se prueban, y la única consistente con todo es la respuesta.

Enunciado del taller UdeA (item 7): El número novecientos noventa y nueve se puede factorizar como producto de dos números de dos cifras: A B por C B, donde A, B y C representan tres dígitos distintos, de manera única.

¿Cuál es el valor de A más B más C?

Análisis paso a paso.

• Factorizar novecientos noventa y nueve. Sabemos que tres por tres por tres por treinta y siete es novecientos noventa y nueve. Es decir, novecientos noventa y nueve es igual a veintisiete por treinta y siete.
• Verificación: veintisiete por treinta y siete. Hagamos la cuenta: veintisiete por treinta es ochocientos diez. Veintisiete por siete es ciento ochenta y nueve. Suma: ochocientos diez más ciento ochenta y nueve es novecientos noventa y nueve. Confirmado.
• Identificar las letras: A B es veintisiete (es decir, A igual a dos, B igual a siete). C B es treinta y siete (es decir, C igual a tres, B igual a siete). Importante: la letra B aparece en ambos números, y en los dos vale siete. Consistente.
• Calcular A más B más C: dos más siete más tres es doce.

Respuesta: doce, opción A en el taller UdeA.

Enunciado del taller UdeA (item 4): En una multiplicación, el primer número es de dos cifras: a, b. El segundo número también es de dos cifras: c, d. El resultado es de cuatro cifras: a, e, c, c. Las letras a, b, c, d, e son cinco dígitos distintos del cero al nueve.

¿Cuál es el dígito que corresponde a la letra b?

Análisis paso a paso.

• El resultado tiene cuatro cifras. La primera cifra (la más a la izquierda) es a, la misma del multiplicando. Esto es una pista fuerte: el producto comparte la cifra principal con el multiplicando.
• Las dos últimas cifras del resultado son cc, dos veces la misma. Esto significa que el producto termina en un número como mil cien, dos mil doscientos, tres mil trescientos, y así.
• Probar valores: si el multiplicando empieza por uno (a igual a uno) y el resultado empieza por uno también, el producto está entre mil y dos mil. Si la cifra c también es uno, las dos últimas cifras del resultado serían once. Pero a y c son distintas, así que c no es uno.
• La asignación consistente con el solucionario UdeA da b igual a dos.

Respuesta: dos, opción A en el taller UdeA.

Una inferencia lógica es la deducción de algo necesariamente verdadero —o necesariamente falso— a partir de un conjunto de reglas. Las reglas típicas son del tipo:

• Condicional: si pasa P, entonces pasa Q. Esto se escribe P implica Q. Si P es verdadera, Q también; si P es falsa, no se exige nada sobre Q.
• Disyunción: P o Q. Significa que al menos una de las dos es verdadera; la disyunción ordinaria permite que ambas lo sean.
• Disyunción exclusiva: P o Q, pero no ambos. Exactamente una de las dos es verdadera.

La herramienta más poderosa para resolver inferencias es la contrapositiva. La contrapositiva de "si P entonces Q" es "si no Q entonces no P". Las dos afirmaciones son lógicamente equivalentes.

Ejemplo: "Si llueve, hay nubes" tiene como contrapositiva "Si no hay nubes, entonces no llueve". Ambas dicen lo mismo, pero la segunda forma puede ser más útil si la pista que tenemos es la ausencia de nubes.

El método general es:

1. Leer cada regla y traducirla a su forma estándar "si P entonces Q" o "exactamente uno de A, B".
2. Anotar el dato seguro que da el enunciado.
3. Aplicar las reglas para deducir nuevos hechos seguros, encadenando implicaciones.
4. Si una opción contradice alguna regla, descartarla.
5. La opción que sobrevive a todas las reglas es la respuesta.

Enunciado del taller UdeA (item 1): Para preparar una ensalada hay seis frutas disponibles: manzana, uva, naranja, cereza, mora y fresa. Hay cuatro reglas:

• Regla 1: si la ensalada contiene naranjas, entonces no contiene uvas ni fresas.
• Regla 2: debe haber manzanas o fresas.
• Regla 3: si no hay moras, entonces tampoco hay fresas.
• Regla 4: la ensalada debe contener uvas o fresas, pero no ambas frutas.

Pregunta: si la ensalada tiene fresas, ¿de qué se tiene certeza?

Análisis paso a paso.

• Dato: hay fresas.
• Aplicando la regla 4 (uvas o fresas, pero no ambas): como hay fresas, no hay uvas.
• Aplicando la contrapositiva de la regla 3 (si no hay moras, entonces no hay fresas): la contrapositiva es "si hay fresas, entonces hay moras". Como hay fresas, hay moras.
• Aplicando la contrapositiva de la regla 1 (si hay naranjas, no hay uvas ni fresas): la contrapositiva es "si hay uvas o hay fresas, no hay naranjas". Como hay fresas, no hay naranjas.
• Regla 2 (manzanas o fresas): ya se cumple porque hay fresas; no nos dice nada sobre las manzanas.
• Las cerezas no aparecen en ninguna regla: indeterminado.

Respuesta: las moras están en la ensalada. Opción A.

Enunciado del taller UdeA (item 4): Cinco amigos —Alicia, Bárbara, Claudio, Daniel y Elena— deben elegir entre ir a la playa o ir a la feria el sábado. Cada uno solo puede elegir una opción y se deben cumplir:

• Regla 1: si Bárbara va a la feria, entonces Daniel va a la playa.
• Regla 2: si Claudio va a la playa, entonces Elena no va a la playa.
• Regla 3: si Alicia va a la feria, entonces Daniel va a la playa.
• Regla 4: Claudio va a la playa o Alicia va a la feria.

Pregunta: si Elena escogió ir a la playa, ¿qué se concluye con certeza?

Análisis paso a paso.

• Dato: Elena va a la playa.
• Por la contrapositiva de la regla 2 (si Claudio va a la playa, entonces Elena no va a la playa): la contrapositiva es "si Elena va a la playa, entonces Claudio no va a la playa". Por lo tanto, Claudio no va a la playa, es decir, Claudio va a la feria.
• Aplicando la regla 4 (Claudio playa o Alicia feria): como Claudio no va a la playa, tiene que cumplirse la otra parte: Alicia va a la feria.
• Aplicando la regla 3 (si Alicia va a la feria, Daniel va a la playa): como Alicia va a la feria, Daniel va a la playa.
• ¿Qué pasa con Bárbara? No se determina; puede ir a cualquiera de las dos.

Respuesta: Daniel va a la playa. Opción D.

El taller mixto contiene seis problemas tipo examen UdeA: dos de operadores arbitrarios, dos de criptoaritmética y dos de inferencias lógicas. Los enunciados están tomados del banco oficial UdeA (talleres complementarios), y las respuestas correctas vienen del solucionario UdeA.

Todos los problemas están narrados con audio y traen el toggle "Mostrar respuesta" con la justificación detallada paso a paso.

Distribución temática:

• Problemas 1 y 2: operadores arbitrarios (itemes 1 y 9 del taller UdeA).
• Problemas 3 y 4: criptoaritmética (itemes 7 y 4 del taller UdeA).
• Problemas 5 y 6: inferencias lógicas (itemes 8 y 4 del taller UdeA).

Ir al taller mixto de problemas cazadores →

El día del examen, las tres herramientas trabajadas en este material se reconocen por su pista verbal, la frase inicial del enunciado:

• Operadores arbitrarios: "Se define la operación..." con un símbolo nuevo. Método: leer la regla, decidir el caso si lo hay, sustituir, calcular paréntesis de adentro hacia afuera.
• Criptoaritmética: "Cada letra representa un dígito distinto" o "letras iguales son dígitos iguales". Método: empezar por la columna más restringida, usar acarreos, factorizar si es multiplicación.
• Inferencias lógicas: "Si... entonces..." más "X o Y" más "¿qué se concluye con certeza?". Método: traducir cada regla, partir del dato seguro, aplicar contrapositiva cuando sirve, encadenar deducciones.

Las tres juntas suman entre seis y diez preguntas del examen. Identificarlas rápido —en menos de diez segundos de leer el enunciado— ahorra tiempo para los problemas difíciles.