Taller de problemas tipo UdeA Aritmética I — Divisibilidad, M C D y M C M
8 problemas con audio y respuesta justificada · Examen de admisión Universidad de Antioquia
Cómo trabajar este taller
Orden: resuélvelos en orden. Los primeros tres son directos, los siguientes tres aplican un solo concepto a la vez, y los dos últimos integran varios.
Antes de oír la respuesta: intenta resolver mentalmente o con el soroban virtual. Solo después pulsa "Mostrar respuesta" para comparar tu razonamiento con la justificación.
Audio: el botón "Reproducir" lee el enunciado y las opciones. La tecla Esc detiene la voz.
Continuar donde quedaste: al volver, el botón Continuar donde quedé te lleva al último problema escuchado.
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PROBLEMA 1 · CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 3
¿Cuál de los siguientes números es divisible por 3?
Sin hacer la división, indica cuál de los siguientes números es divisible por 3.
A 1.247
B 2.581
C 3.624
D 4.703
Respuesta: opción C, el número 3.624.
Justificación: aplicamos el criterio "suma de cifras divisible por 3".
Opción A: 1 más 2 más 4 más 7 igual a 14. 14 no es divisible por 3.
Opción B: 2 más 5 más 8 más 1 igual a 16. 16 no es divisible por 3.
Opción C: 3 más 6 más 2 más 4 igual a 15. 15 igual a 3 por 5. Divisible por 3. Aquí está.
Opción D: 4 más 7 más 0 más 3 igual a 14. 14 no es divisible por 3.
Observación: el método es mental y rapidísimo. En el examen, no pierdas tiempo dividiendo; suma cifras.
PROBLEMA 2 · IDENTIFICAR NÚMERO PRIMO
¿Cuál de los siguientes números es primo?
De los siguientes, identifica el único que es primo.
A 51
B 57
C 67
D 87
Respuesta: opción C, el número 67.
Justificación: revisamos divisibilidad por primos pequeños hasta la raíz cuadrada del número.
Opción A, 51: suma de cifras 5 más 1 igual a 6, divisible por 3. Entonces 51 igual a 3 por 17. No es primo.
Opción B, 57: suma 5 más 7 igual a 12, divisible por 3. 57 igual a 3 por 19. No es primo.
Opción C, 67: termina en 7 (no por 2 ni por 5). Suma 6 más 7 igual a 13 (no por 3). Probamos por 7: 7 por 9 igual a 63, 7 por 10 igual a 70. No cabe exacto. La raíz cuadrada de 67 está entre 8 y 9, así que basta probar por 2, 3, 5 y 7. Como ninguno divide, 67 es primo.
Opción D, 87: suma 8 más 7 igual a 15, divisible por 3. 87 igual a 3 por 29. No es primo.
Observación: para verificar si un número n es primo, basta probar divisibilidad por los primos menores o iguales a la raíz cuadrada de n. Para números menores a 100, basta con 2, 3, 5 y 7.
PROBLEMA 3 · DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Descomposición en factores primos de 504
¿Cuál es la descomposición en factores primos del número 504?
A 2 al cuadrado por 3 por 5 por 7
B 2 al cubo por 3 al cuadrado por 7
C 2 al cuadrado por 3 al cubo por 5
D 2 al cuarto por 3 por 7
Respuesta: opción B, 2 al cubo por 3 al cuadrado por 7.
Justificación paso a paso. Descomponemos 504 dividiendo por primos pequeños:
504 dividido entre 2 igual a 252.
252 dividido entre 2 igual a 126.
126 dividido entre 2 igual a 63.
63 ya no es par. Probamos por 3: 63 dividido entre 3 igual a 21.
21 dividido entre 3 igual a 7.
7 dividido entre 7 igual a 1. Termina.
Factores: 2, 2, 2, 3, 3, 7. Por lo tanto 504 igual a 2 al cubo por 3 al cuadrado por 7.
Verificación: 2 al cubo es 8. 3 al cuadrado es 9. 8 por 9 es 72. 72 por 7 es 504. Coincide.
PROBLEMA 4 · MCD POR DESCOMPOSICIÓN
Máximo común divisor de 72 y 120
¿Cuál es el máximo común divisor de 72 y 120?
A 8
B 12
C 24
D 36
Respuesta: opción C, máximo común divisor igual a 24.
Justificación por descomposición:
72 igual a 2 al cubo por 3 al cuadrado.
120 igual a 2 al cubo por 3 por 5.
Primos comunes: 2 y 3. Menor exponente del 2: el mínimo entre 3 y 3 es 3. Menor exponente del 3: el mínimo entre 2 y 1 es 1. El 5 no es común, no entra.
Resultado: 2 al cubo por 3 igual a 8 por 3 igual a 24.
Verificación: 72 dividido entre 24 igual a 3 (exacto). 120 dividido entre 24 igual a 5 (exacto). Confirmado.
PROBLEMA 5 · MCD POR EUCLIDES (ÁBACO)
Máximo común divisor de 462 y 168 con algoritmo de Euclides
Calcula el máximo común divisor de 462 y 168 usando el algoritmo de Euclides. Si quieres, ejecuta cada división en el soroban virtual de la sesión 2.
A 14
B 21
C 42
D 84
Respuesta: opción C, máximo común divisor igual a 42.
Justificación por Euclides:
Paso 1: dividimos 462 entre 168. ¿Cuántas veces cabe 168 en 462? Una vez es 168, dos veces es 336, tres veces es 504, ya pasa. Cociente 2, residuo 462 menos 336 igual a 126.
Paso 2: ahora con 168 y 126. Dividimos 168 entre 126. Una vez es 126, dos veces 252, ya pasa. Cociente 1, residuo 168 menos 126 igual a 42.
Paso 3: ahora con 126 y 42. Dividimos 126 entre 42. 42 por 3 es 126. Cociente 3, residuo 0.
Como el residuo es 0, paramos. El último divisor fue 42. Máximo común divisor igual a 42.
Verificación: 462 dividido entre 42 igual a 11. 168 dividido entre 42 igual a 4. Ambos exactos.
PROBLEMA 6 · MCM POR DESCOMPOSICIÓN
Mínimo común múltiplo de 15, 18 y 20
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de los tres números 15, 18 y 20?
A 90
B 120
C 180
D 360
Respuesta: opción C, mínimo común múltiplo igual a 180.
Justificación: descomponemos cada número.
15 igual a 3 por 5.
18 igual a 2 por 3 al cuadrado.
20 igual a 2 al cuadrado por 5.
Tomamos cada primo con su mayor exponente.
Mayor exponente del 2: el máximo entre 0, 1 y 2 es 2. Tomamos 2 al cuadrado.
Mayor exponente del 3: el máximo entre 1, 2 y 0 es 2. Tomamos 3 al cuadrado.
Mayor exponente del 5: el máximo entre 1, 0 y 1 es 1. Tomamos 5.
Multiplicamos: 4 por 9 igual a 36. 36 por 5 igual a 180.
Verificación: 180 dividido entre 15 igual a 12 (exacto). 180 dividido entre 18 igual a 10 (exacto). 180 dividido entre 20 igual a 9 (exacto). Confirmado.
PROBLEMA 7 · APLICACIÓN DE MCD (REPARTO EXACTO)
Cortar tela en trozos del mismo tamaño máximo
Una persona tiene tres rollos de tela: uno de 90 metros, otro de 120 metros y otro de 150 metros. Quiere cortar los tres rollos en trozos de la misma longitud, sin que sobre ningún pedazo, y desea que cada trozo sea lo más largo posible. ¿Cuál es la longitud de cada trozo?
A 15 metros
B 30 metros
C 45 metros
D 60 metros
Respuesta: opción B, 30 metros.
Justificación: "trozos del mismo tamaño máximo en los tres rollos" pide el máximo común divisor de 90, 120 y 150.
Descomposición:
90 igual a 2 por 3 al cuadrado por 5.
120 igual a 2 al cubo por 3 por 5.
150 igual a 2 por 3 por 5 al cuadrado.
Primos comunes a los tres: 2, 3 y 5.
Menor exponente del 2: el mínimo entre 1, 3 y 1 es 1. Tomamos 2.
Menor exponente del 3: el mínimo entre 2, 1 y 1 es 1. Tomamos 3.
Menor exponente del 5: el mínimo entre 1, 1 y 2 es 1. Tomamos 5.
Multiplicamos: 2 por 3 por 5 igual a 30.
Respuesta: 30 metros por trozo. Eso da 3 trozos del primer rollo, 4 del segundo y 5 del tercero. Total 12 trozos, todos de 30 metros.
Pista verbal para identificar el tipo de problema: cuando el problema dice "el mayor tamaño posible" o "la mayor cantidad posible que reparte exacto", piensa en máximo común divisor.
PROBLEMA 8 · APLICACIÓN DE MCM (SINCRONIZACIÓN)
Tres semáforos que se reinician al mismo tiempo
En una avenida hay tres semáforos que en el instante de las 7:00 a.m. cambian a verde al mismo tiempo. El primero cambia a verde cada 45 segundos, el segundo cada 60 segundos y el tercero cada 75 segundos. ¿Después de cuánto tiempo, en minutos, vuelven a coincidir los tres semáforos en verde?
A 5 minutos
B 10 minutos
C 15 minutos
D 20 minutos
Respuesta: opción C, 15 minutos.
Justificación: "primer instante en que vuelven a coincidir" pide el mínimo común múltiplo de 45, 60 y 75 segundos.
Descomposición:
45 igual a 3 al cuadrado por 5.
60 igual a 2 al cuadrado por 3 por 5.
75 igual a 3 por 5 al cuadrado.
Tomamos cada primo con su mayor exponente.
Mayor exponente del 2: el máximo entre 0, 2 y 0 es 2. Tomamos 2 al cuadrado.
Mayor exponente del 3: el máximo entre 2, 1 y 1 es 2. Tomamos 3 al cuadrado.
Mayor exponente del 5: el máximo entre 1, 1 y 2 es 2. Tomamos 5 al cuadrado.
Multiplicamos: 4 por 9 igual a 36. 36 por 25 igual a 900.
900 segundos. Convertimos a minutos: 900 dividido entre 60 igual a 15. La respuesta es 15 minutos.
Pista verbal: cuando el problema dice "primer instante en que coinciden", "vuelven a sincronizarse", "se reinician juntos", piensa en mínimo común múltiplo.
Atención al detalle: el examen de admisión a veces da los datos en una unidad y pide la respuesta en otra (segundos a minutos, por ejemplo). Siempre haz la conversión final antes de elegir opción.