Taller de repaso integral Sesiones 1 a 6 · Antes de la Sesión 7
8 problemas tipo examen de admisión Universidad de Antioquia · Con pista y solución detallada
Cómo trabajar este taller
Para qué sirve: consolidar lo que llevamos hasta ahora antes de comenzar la Sesión 7. Cubre proporcionalidad y porcentajes (sesiones 1 y 4), progresiones aritméticas y geométricas (sesión 3), divisibilidad, máximo común divisor y mínimo común múltiplo (sesiones 5 y 6).
Estilo: los problemas están redactados como aparecen en el examen de admisión Universidad de Antioquia, con cuatro opciones A, B, C y D y una sola correcta.
Cómo intentarlos: primero, escucha el enunciado completo (botón "Reproducir") y trata de resolverlo mentalmente. Si te atoras, pulsa "Mostrar pista" — la pista da la idea clave para empezar, sin revelar la respuesta. Solo cuando hayas elegido tu opción o hayas intentado de verdad, pulsa "Mostrar respuesta y solución" para validar y leer la justificación paso a paso.
Audio: el botón "Reproducir" lee enunciado y opciones. Tecla Esc detiene la voz.
Continuar donde quedaste: al volver al taller, el botón Continuar donde quedé te lleva al último problema escuchado.
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PROBLEMA 1 · PROPORCIONALIDAD DIRECTA · SESIONES 1 Y 4
Receta de panes
Una receta artesanal de panadería usa 480 gramos de harina para hacer 6 panes del mismo tamaño. Si se quieren hacer 15 panes con la misma receta, manteniendo la proporción exacta de harina por pan, ¿cuántos gramos de harina se necesitan?
A 800 gramos
B 960 gramos
C 1.200 gramos
D 1.500 gramos
Pista: es una regla de tres directa. A más panes, más harina, en la misma proporción. Una forma rápida es calcular cuánta harina necesita un solo pan y multiplicar por el número de panes nuevo.
Respuesta correcta: opción C, 1.200 gramos.
Solución por unidad de pan.
Paso 1. ¿Cuánta harina por cada pan? 480 dividido entre 6 igual a 80 gramos por pan.
Paso 2. ¿Cuánta harina para 15 panes? 80 por 15 igual a 1.200 gramos.
Solución por regla de tres directa (verificación).
6 panes corresponden a 480 gramos.
15 panes corresponden a equis gramos.
Equis igual a (15 por 480) dividido entre 6 igual a 7.200 dividido entre 6 igual a 1.200 gramos. Coincide.
Pista verbal para el examen: cuando dos magnitudes crecen juntas (más panes pide más harina), es proporcionalidad directa. La fórmula clave es a sobre b igual a c sobre d, o equivalentemente, productos cruzados a por d igual a b por c.
PROBLEMA 2 · PROPORCIONALIDAD INVERSA · SESIÓN 4
Obreros pavimentando una calle
Doce obreros pavimentan una calle en 20 días, trabajando todos al mismo ritmo. Si para terminar la siguiente calle se contratan 16 obreros con el mismo ritmo de trabajo, ¿en cuántos días terminarán?
A 12 días
B 15 días
C 18 días
D 27 días
Pista: a más obreros, menos días. Es proporcionalidad inversa. La cantidad obreros multiplicada por días se mantiene constante (porque representa la misma cantidad total de trabajo). Si conoces ese producto en un caso, puedes despejar el otro.
Respuesta correcta: opción B, 15 días.
Solución por la constante de proporcionalidad inversa.
El trabajo total se mide en obreros-día. Si 12 obreros tardan 20 días, el trabajo total es 12 por 20 igual a 240 obreros-día.
Para 16 obreros: 16 por equis igual a 240. Despejando: equis igual a 240 dividido entre 16 igual a 15 días.
Solución por regla de tres inversa (verificación).
En proporcionalidad inversa, los productos cruzados se invierten:
12 obreros corresponden a 20 días.
16 obreros corresponden a equis días.
Inversa: 12 por 20 igual a 16 por equis. Equis igual a 240 dividido entre 16 igual a 15. Coincide.
Pista verbal para el examen: cuando dos magnitudes se mueven en sentido contrario (más de una pide menos de la otra), la proporcionalidad es inversa. La identidad clave es a por b igual a c por d, donde el producto se conserva. Palabras clave en el enunciado: "más obreros / menos tiempo", "más velocidad / menos duración", "más caños / menos tiempo en llenar".
PROBLEMA 3 · PORCENTAJE CON DESCUENTO · SESIONES 1 Y 4
Televisor con descuento
Un televisor cuesta un millón quinientos mil pesos. La tienda anuncia una oferta del 12 por ciento de descuento sobre el precio original. ¿Cuál es el precio final que se paga después de aplicar el descuento?
A 1.300.000 pesos
B 1.320.000 pesos
C 1.420.000 pesos
D 1.480.000 pesos
Pista: hay dos caminos. Uno: calcular el descuento (12 por ciento del precio) y restarlo. Dos, más rápido: si descuentan 12, pagas el 88 por ciento del precio. Multiplica por 0,88 directo.
Respuesta correcta: opción B, 1.320.000 pesos.
Solución por descuento explícito.
Paso 1. Calcular el 12 por ciento de 1.500.000.
12 por ciento es 12 sobre 100, igual a 0,12.
0,12 por 1.500.000 igual a 180.000 pesos.
Paso 2. Restar el descuento al precio original.
1.500.000 menos 180.000 igual a 1.320.000.
Solución más rápida: pagar el 88 por ciento.
Si descuentan 12 por ciento, pagas el complemento, 100 menos 12 igual a 88 por ciento.
1.500.000 por 0,88. Calculémoslo: 1.500.000 por 0,88 igual a 1.500.000 menos 12 por ciento. O directo: 15 por 88 igual a 1.320, así que 1.500.000 por 0,88 igual a 1.320.000. Coincide.
Pista verbal para el examen: "porcentaje" es siempre "tantos sobre cien". 25 por ciento es 25 sobre 100 igual a 0,25 igual a un cuarto. 50 por ciento es la mitad. 10 por ciento es dividir entre 10 (mover la coma una posición). Para descuentos, conviene multiplicar por (uno menos el porcentaje en decimal); para incrementos, multiplicar por (uno más el porcentaje en decimal).
PROBLEMA 4 · PROGRESIÓN ARITMÉTICA · SESIÓN 3
Término número 30 de una sucesión
Una sucesión comienza así: 7, 13, 19, 25, 31, y así sucesivamente. Cada término se obtiene sumándole 6 al anterior. ¿Cuál es el valor del término número 30 de esta sucesión?
A 175
B 181
C 187
D 193
Pista: es una progresión aritmética con primer término 7 y diferencia 6. La fórmula del término que ocupa la posición n es a sub n igual a a sub uno más (n menos uno) por d, donde a sub uno es el primer término y d es la diferencia. Cuidado: del primer término al término número 30 hay 29 saltos, no 30.
Respuesta correcta: opción B, 181.
Solución por la fórmula del término general.
a sub uno igual a 7 (el primer término).
d igual a 6 (la diferencia común entre términos consecutivos).
a sub n igual a a sub uno más (n menos uno) por d.
a sub 30 igual a 7 más (30 menos uno) por 6.
a sub 30 igual a 7 más 29 por 6.
a sub 30 igual a 7 más 174.
a sub 30 igual a 181.
Verificación rápida.
Del primer término (7) hasta el segundo (13) hay 1 salto. Hasta el tercero (19), 2 saltos. Hasta el término 30, 29 saltos. Cada salto suma 6, así que el aumento total es 29 por 6 igual a 174. Sumado al primer término: 7 más 174 igual a 181. Coincide.
Pista verbal para el examen: en una progresión aritmética, el término número n está a (n menos uno) saltos del primero. El error más común es contar n saltos en lugar de (n menos uno). Otro error: usar como primer término el segundo de la lista. Lee con calma cuál es a sub uno.
PROBLEMA 5 · PROGRESIÓN GEOMÉTRICA · SESIÓN 3
Bacterias que se duplican
En un cultivo de laboratorio, una colonia de bacterias se duplica cada hora exacta. Al iniciar el experimento se cuentan 250 bacterias. ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo después de 5 horas, suponiendo que ninguna muere?
A 4.000
B 6.000
C 8.000
D 12.500
Pista: es una progresión geométrica de razón 2 (porque se duplica). Después de 5 horas hay 5 duplicaciones. La fórmula directa es: cantidad final igual a cantidad inicial por 2 elevado al número de duplicaciones. 2 elevado a la 5 es 32.
Respuesta correcta: opción C, 8.000 bacterias.
Solución por duplicaciones sucesivas.
Hora 0: 250 bacterias (al iniciar).
Hora 1: 250 por 2 igual a 500.
Hora 2: 500 por 2 igual a 1.000.
Hora 3: 1.000 por 2 igual a 2.000.
Hora 4: 2.000 por 2 igual a 4.000.
Hora 5: 4.000 por 2 igual a 8.000.
Solución por la fórmula directa.
Tras 5 horas, hay 5 duplicaciones, así que la cantidad final es:
250 por 2 elevado a la 5 igual a 250 por 32 igual a 8.000. Coincide.
Pista verbal para el examen: en una progresión geométrica, en lugar de sumar la diferencia se multiplica por la razón. La fórmula del término general es a sub n igual a a sub uno por r elevado a (n menos uno). Cuidado: si te preguntan por el número de cantidad después de t periodos (como aquí, 5 horas), la fórmula es a sub uno por r elevado a t, no a la t menos uno. Las palabras "después de" sugieren contar desde cero; "el término número" sugiere contar desde uno.
PROBLEMA 6 · CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 11 · SESIÓN 6
¿Cuál de los siguientes números es divisible por 11?
Sin hacer la división completa, indica cuál de los siguientes números de cuatro cifras es divisible por 11.
A 1.234
B 5.940
C 7.215
D 8.061
Pista: el criterio de divisibilidad por 11 es la "suma alternada". Empezando por la cifra de la derecha, se va sumando y restando alternadamente: la primera cifra suma, la segunda resta, la tercera suma, la cuarta resta. Si el resultado es 0 o múltiplo de 11 (positivo o negativo), el número es divisible por 11.
Respuesta correcta: opción B, 5.940.
Aplicación del criterio (suma alternada de derecha a izquierda).
A) 1.234 → 4 menos 3 más 2 menos 1 igual a 2. No es 0 ni múltiplo de 11. NO divisible.
B) 5.940 → 0 menos 4 más 9 menos 5 igual a 0. Múltiplo de 11. SÍ divisible.
C) 7.215 → 5 menos 1 más 2 menos 7 igual a menos 1. No es múltiplo de 11. NO divisible.
D) 8.061 → 1 menos 6 más 0 menos 8 igual a menos 13. No es múltiplo de 11. NO divisible.
Verificación de la opción B. 5.940 dividido entre 11 igual a 540 exacto. Confirmado.
Pista verbal para el examen: los criterios rápidos del examen UdeA son los de divisibilidad por 2, 3, 5 y 9 (los más comunes), y por 4, 8, 11 (menos comunes pero importantes). Memoriza la suma alternada del 11 con la frase "suma una, resta la siguiente, y así". Si te dan números de muchas cifras, este criterio ahorra mucho tiempo.
PROBLEMA 7 · MÁXIMO COMÚN DIVISOR APLICADO · SESIÓN 6
Cortar listones de madera del mismo tamaño
Pedro tiene tres listones de madera de longitudes diferentes: uno de 84 centímetros, otro de 126 centímetros y otro de 168 centímetros. Quiere cortarlos en pedazos del mismo tamaño, sin que sobre madera de ningún listón, y desea que cada pedazo sea lo más largo posible. ¿De qué tamaño debe ser cada pedazo?
A 12 centímetros
B 21 centímetros
C 28 centímetros
D 42 centímetros
Pista: "el más grande que reparte exacto a los tres" pide el máximo común divisor de las tres longitudes. Descompón cada longitud en factores primos y toma los primos comunes con el menor exponente.
Respuesta correcta: opción D, 42 centímetros.
Descomposición en factores primos.
84: 84 dividido entre 2 igual a 42; 42 dividido entre 2 igual a 21; 21 dividido entre 3 igual a 7. Entonces 84 igual a 2 al cuadrado por 3 por 7.
126: 126 dividido entre 2 igual a 63; 63 dividido entre 3 igual a 21; 21 dividido entre 3 igual a 7. Entonces 126 igual a 2 por 3 al cuadrado por 7.
168: 168 dividido entre 2 igual a 84; 84 dividido entre 2 igual a 42; 42 dividido entre 2 igual a 21; 21 dividido entre 3 igual a 7. Entonces 168 igual a 2 al cubo por 3 por 7.
Cálculo del MCD: primos comunes con menor exponente.
Primo 2: exponentes 2, 1, 3. Menor es 1. Tomamos 2 a la 1.
Primo 3: exponentes 1, 2, 1. Menor es 1. Tomamos 3 a la 1.
Primo 7: exponentes 1, 1, 1. Tomamos 7 a la 1.
Otros primos no aparecen en los tres. MCD igual a 2 por 3 por 7 igual a 42.
Verificación. 84 dividido entre 42 igual a 2 (sale 2 pedazos de 42 cm). 126 dividido entre 42 igual a 3. 168 dividido entre 42 igual a 4. En total, 2 más 3 más 4 igual a 9 pedazos, todos de 42 cm. Sin desperdicio.
Pista verbal para el examen: palabras clave que sugieren MCD: "el más grande que reparte", "el mayor tamaño posible", "sin desperdicio", "en partes iguales". Si el problema dice "lo más grande / mayor / máximo" más "exacto / sin que sobre", es MCD. Si dice "el primer instante en que coinciden / vuelven a sincronizarse", es MCM (lo veremos en el siguiente problema).
PROBLEMA 8 · MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO APLICADO · SESIÓN 6
Tres semáforos que vuelven a coincidir
En una avenida hay tres semáforos que en este momento, las 7 en punto de la mañana, acaban de cambiar a verde al mismo tiempo. El primero cambia a verde cada 24 segundos, el segundo cada 36 segundos y el tercero cada 60 segundos. ¿En cuánto tiempo, expresado en minutos, los tres semáforos volverán a coincidir simultáneamente en verde?
A 1 minuto
B 2 minutos
C 6 minutos
D 12 minutos
Pista: "primer instante en que vuelven a coincidir" pide el mínimo común múltiplo de los tres tiempos. Calcula primero en segundos y al final convierte a minutos. Recuerda: para MCM, primos comunes y no comunes, todos con el mayor exponente.
Respuesta correcta: opción C, 6 minutos.
Descomposición en factores primos.
24: 24 dividido entre 2 igual a 12; 12 dividido entre 2 igual a 6; 6 dividido entre 2 igual a 3; 3 dividido entre 3 igual a 1. Entonces 24 igual a 2 al cubo por 3.
36: 36 dividido entre 2 igual a 18; 18 dividido entre 2 igual a 9; 9 dividido entre 3 igual a 3; 3 dividido entre 3 igual a 1. Entonces 36 igual a 2 al cuadrado por 3 al cuadrado.
60: 60 dividido entre 2 igual a 30; 30 dividido entre 2 igual a 15; 15 dividido entre 3 igual a 5; 5 dividido entre 5 igual a 1. Entonces 60 igual a 2 al cuadrado por 3 por 5.
Cálculo del MCM: todos los primos con mayor exponente.
Primo 2: exponentes 3, 2, 2. Mayor es 3. Tomamos 2 al cubo igual a 8.
Primo 3: exponentes 1, 2, 1. Mayor es 2. Tomamos 3 al cuadrado igual a 9.
Primo 5: exponentes 0, 0, 1. Mayor es 1. Tomamos 5.
MCM igual a 8 por 9 por 5 igual a 360 segundos.
Conversión a minutos. 360 segundos dividido entre 60 igual a 6 minutos.
Verificación. 360 dividido entre 24 igual a 15 (el primer semáforo cambia 15 veces en ese tiempo). 360 dividido entre 36 igual a 10 (el segundo cambia 10 veces). 360 dividido entre 60 igual a 6 (el tercero cambia 6 veces). Los tres cambios se alinean exactos en 360 segundos.
Pista verbal para el examen: palabras clave que sugieren MCM: "vuelven a coincidir", "se sincronizan", "se reinician al mismo tiempo", "ambos llegan al mismo punto". Cuidado con la unidad: si los datos vienen en segundos, calcula en segundos y convierte al final a minutos u horas según pida el examen. Una conversión equivocada cambia tu respuesta.