Razonamiento Lógico
Todas las sesiones

Una razón es una comparación entre dos cantidades por medio de una división. Por ejemplo, si en un salón hay 3 estudiantes hombres por cada 2 mujeres, decimos que la razón de hombres a mujeres es 3 a 2. Se escribe "3 a 2" o como fracción: tres medios.

Una proporción es una igualdad entre dos razones. Es decir, cuando dos razones representan la misma comparación. Por ejemplo: tres medios es igual a seis cuartos, porque ambas razones comparan "una cantidad y media veces". Se escribe: "a es a b como c es a d", o en fracción: a sobre b igual a c sobre d.

Nombres de los términos: En la proporción "a es a b como c es a d", los términos de los bordes, es decir a y d, se llaman extremos. Los términos del centro, b y c, se llaman medios.

Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Es decir, a por d es igual a b por c. Esta propiedad es la que permite encontrar un valor desconocido en una proporción.

Idea clave para recordar verbalmente: cuando tenemos una proporción con una incógnita, multiplicamos los dos valores conocidos que están en posición cruzada y dividimos entre el tercer valor conocido.

En una receta de arepas, por cada 3 tazas de harina se usan 2 tazas de agua. Si queremos usar 9 tazas de harina manteniendo la misma proporción, ¿cuántas tazas de agua necesitamos?

Planteamiento: La proporción es "3 es a 2 como 9 es a x", donde x son las tazas de agua que buscamos.

Paso 1: Identificar extremos y medios. Extremos: 3 y x. Medios: 2 y 9.

Paso 2: Aplicar la propiedad fundamental. Producto de extremos igual a producto de medios: 3 por x igual a 2 por 9. Es decir, 3x igual a 18.

Paso 3 — con ábaco: Para despejar x, dividimos 18 entre 3. En el ábaco: representen 18 (decenas = 1, unidades = 8). Dividir entre 3: pensamos cuántas veces cabe 3 en 18. Tres por seis es dieciocho. Entonces 18 dividido 3 es 6.

Respuesta: x igual a 6 tazas de agua.

La regla de tres directa se aplica cuando dos magnitudes son directamente proporcionales. Esto significa que si una aumenta, la otra también aumenta en la misma medida; y si una disminuye, la otra también disminuye.

Ejemplos típicos de proporcionalidad directa:
Más kilos de arroz, más pesos se pagan.
Más horas de trabajo, más dinero se recibe.
Más metros de tela, más botones se necesitan.
Más litros de gasolina, más kilómetros se pueden recorrer.

Cómo organizar los datos verbalmente:
Primero, identificamos los dos pares de datos. Llamemos A y B a las dos magnitudes.
Fila uno: un valor conocido de A y su valor correspondiente de B.
Fila dos: otro valor conocido de A y la incógnita x en B.

Fórmula verbal (sin referirse a cruces ni diagonales):
Para hallar la incógnita x, multiplicamos el valor de A de la segunda fila por el valor de B de la primera fila, y dividimos todo entre el valor de A de la primera fila.

En símbolos: si en la primera fila tenemos a correspondiente a b, y en la segunda fila tenemos c correspondiente a x, entonces x es igual a c por b dividido entre a.

Regla de oro para identificar una proporcionalidad directa: pregúntense "si esta magnitud aumenta, ¿la otra también aumenta?". Si la respuesta es sí, es directa.

Si 4 kilos de arroz cuestan 18.000 pesos, ¿cuánto cuestan 7 kilos al mismo precio por kilo?

Paso 1 — Identificar el tipo de proporcionalidad: más kilos implica más pesos. Es directamente proporcional.

Paso 2 — Organizar los datos:
Primera fila: 4 kilos corresponden a 18.000 pesos.
Segunda fila: 7 kilos corresponden a x pesos.

Paso 3 — Aplicar la fórmula: x igual a 7 por 18.000, dividido entre 4.

Paso 4 — Calcular con el ábaco:
Primero multiplicamos 7 por 18.000. Descomponemos: 7 por 18 es igual a 126. Por lo tanto, 7 por 18.000 es 126.000.
Luego dividimos 126.000 entre 4. Pensamos: 12 dividido 4 es 3; 6 dividido 4 es 1 y sobran 2. 2 se convierten en 20 al bajar la siguiente cifra; 20 más el cero siguiente no cambia. 20 dividido 4 es 5. Resultado: 31.500.

Respuesta: 7 kilos cuestan 31.500 pesos.

La regla de tres inversa se aplica cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales. Esto significa que si una aumenta, la otra disminuye, y viceversa. La relación es opuesta a la directa.

Ejemplos típicos de proporcionalidad inversa:
Más obreros trabajando, menos días para terminar una obra.
Más velocidad, menos tiempo para recorrer una distancia fija.
Más grifos abiertos, menos tiempo para llenar un tanque.
Más personas compartiendo un dulce, menos cantidad para cada una.

Propiedad clave: el producto de las dos magnitudes permanece constante. Por ejemplo, si 6 obreros tardan 10 días, el producto 6 por 10 es 60, y ese número (60 "días-obrero") representa el trabajo total. Cambiando el número de obreros, los días cambiarán de forma que el producto siga siendo 60.

Fórmula verbal:
Primera fila: a obreros con b días.
Segunda fila: c obreros con x días.
Se cumple: a por b igual a c por x.
Despejando x: x igual a (a por b) dividido entre c.

Regla de oro para identificar una proporcionalidad inversa: pregúntense "si esta magnitud aumenta, ¿la otra disminuye?". Si la respuesta es sí, es inversa.

Si 6 obreros construyen un muro en 10 días, ¿cuántos días tardarían 4 obreros trabajando al mismo ritmo?

Paso 1 — Identificar el tipo de proporcionalidad: con menos obreros, el trabajo tarda más. Entonces es inversamente proporcional.

Paso 2 — Predicción por sentido común: si 6 obreros tardan 10 días, 4 obreros deben tardar más de 10 días. El resultado debe ser un número mayor que 10.

Paso 3 — Organizar los datos:
Primera fila: 6 obreros con 10 días.
Segunda fila: 4 obreros con x días.

Paso 4 — Aplicar la fórmula: x igual a (6 por 10) dividido entre 4.

Paso 5 — Calcular con el ábaco:
6 por 10 es 60. Representen 60 en el ábaco.
60 dividido 4: pensamos cuántas veces cabe 4 en 60. Cuatro por quince es sesenta. Entonces 60 entre 4 es 15.

Respuesta: 4 obreros tardan 15 días.

La palabra porcentaje significa literalmente "por cada cien". Cuando decimos "25 por ciento", estamos diciendo "25 de cada 100". El símbolo % no es más que una forma abreviada de escribir "dividido entre 100".

El porcentaje es una razón particular: toda razón que tenga 100 en el denominador se puede escribir como porcentaje. Por ejemplo, 25 sobre 100 es 25 por ciento. 50 sobre 100 es 50 por ciento.

Equivalencias clave para memorizar con el oído:
50 por ciento es igual a 1 medio (la mitad).
25 por ciento es igual a 1 cuarto.
75 por ciento es igual a 3 cuartos.
10 por ciento es igual a 1 décima.
20 por ciento es igual a 1 quinta parte.
1 por ciento es igual a 1 centésima.
100 por ciento es igual al total, es decir, al entero completo.

Para calcular un porcentaje de una cantidad:
Método 1 (con fracción equivalente): reemplazar el porcentaje por su fracción. Por ejemplo, 25 por ciento de 80 es un cuarto de 80, que es 80 entre 4 igual a 20.
Método 2 (con la fórmula general): multiplicar la cantidad por el porcentaje y dividir entre 100. Por ejemplo, 25 por ciento de 80 es 80 por 25 entre 100, que es 2.000 entre 100, igual a 20.

Consejo: cuando el porcentaje es una equivalencia conocida (50%, 25%, 10%, 20%, 75%), el método 1 suele ser más rápido y menos propenso a errores en el ábaco.

Casi todos los problemas de porcentajes del examen UdeA caen en uno de estos tres tipos. Identificar el tipo es la mitad del trabajo.

Tipo 1 — Hallar la parte: nos dan el todo y el porcentaje, piden la parte.
Pregunta típica: "¿Cuánto es el x por ciento de N?".
Fórmula: parte igual a N por x dividido entre 100.
Ejemplo: 20 por ciento de 80.000 pesos. Cálculo: 80.000 por 20 entre 100. Primero 80.000 por 20 igual a 1.600.000. Luego 1.600.000 entre 100 igual a 16.000. Respuesta: 16.000 pesos.

Tipo 2 — Hallar el porcentaje: nos dan la parte y el todo, piden el porcentaje.
Pregunta típica: "¿Qué porcentaje es A de B?".
Fórmula: porcentaje igual a (A dividido entre B) multiplicado por 100.
Ejemplo: ¿qué porcentaje es 15 de 60? Cálculo: 15 entre 60 igual a 1 cuarto. 1 cuarto por 100 igual a 25. Respuesta: 25 por ciento.

Tipo 3 — Hallar el todo: nos dan la parte y el porcentaje, piden el todo.
Pregunta típica: "Si el x por ciento de un total es A, ¿cuál es el total?".
Fórmula: total igual a A por 100 dividido entre x.
Ejemplo: si el 25 por ciento de una mesada es 40.000 pesos, ¿cuánto es la mesada completa? Cálculo: 40.000 por 100 entre 25 igual a 4.000.000 entre 25 igual a 160.000 pesos. Respuesta: 160.000 pesos.

Cómo distinguir los tres tipos: siempre pregúntense qué dato falta. Si falta la parte, es tipo 1. Si falta el porcentaje (el número con el símbolo %), es tipo 2. Si falta el todo (la cantidad de referencia completa), es tipo 3.

Un bus que va hacia la UdeA recorre 60 kilómetros en 45 minutos. Si continúa a la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorre en 60 minutos?

Si 5 libros de preparación para el examen UdeA cuestan 75.000 pesos en total, ¿cuánto cuestan 8 libros al mismo precio unitario?

Si 8 estudiantes organizan un evento cultural de bienvenida en 6 horas, ¿cuántas horas tardarían 12 estudiantes al mismo ritmo de trabajo?

La UdeA otorga a un aspirante una beca que cubre el 35 por ciento de una matrícula de 1.800.000 pesos. ¿Cuánto debe pagar el aspirante después de aplicar la beca?

Juan ahorró 90.000 pesos en un mes, lo que corresponde al 15 por ciento de su mesada mensual. ¿Cuánto es la mesada completa de Juan?

Recordemos cómo funciona el ábaco cerrado (ábaco Cranmer), la herramienta táctil que usamos para hacer operaciones matemáticas. El ábaco tiene una barra horizontal en el centro llamada riel separador. Cada columna se divide en dos zonas: arriba del riel hay una sola cuenta que vale 5, y abajo del riel hay cuatro cuentas que valen 1 cada una. Para activar una cuenta, la empujamos hacia el riel central: las de abajo se suben y la de arriba se baja. Las columnas van de derecha a izquierda: unidades, decenas, centenas, millares, y así sucesivamente. Cada columna puede representar del 0 al 9.

Cómo representar cada dígito:
0: todas las cuentas alejadas del riel (arriba queda arriba, abajo quedan abajo).
1: una cuenta de abajo subida al riel.
2: dos cuentas de abajo subidas.
3: tres cuentas de abajo subidas.
4: cuatro cuentas de abajo subidas.
5: solo la cuenta de arriba bajada al riel (las de abajo quietas).
6: cuenta de arriba bajada + una de abajo subida (5 + 1).
7: cuenta de arriba bajada + dos de abajo subidas (5 + 2).
8: cuenta de arriba bajada + tres de abajo subidas (5 + 3).
9: cuenta de arriba bajada + cuatro de abajo subidas (5 + 4).

Práctica: Representen los números 563, 2.409 y 7.080 en el ábaco. Verifiquen con su compañero.

Vamos a sumar 234 + 152 en el ábaco, paso a paso. En esta suma no hay acarreo porque ninguna columna supera 9. Resultado esperado: 386.

Paso 1: Representen el primer número, 234, en el ábaco.
Centenas: suban 2 cuentas de abajo al riel.
Decenas: suban 3 cuentas de abajo al riel.
Unidades: suban 4 cuentas de abajo al riel.

Paso 2 — Sumamos las unidades: Al 4 que ya tenemos, sumamos 2.
4 + 2 = 6. En el ábaco: bajen la cuenta de arriba (vale 5) y dejen solo 1 cuenta de abajo subida. Así: 5 + 1 = 6.

Paso 3 — Sumamos las decenas: Al 3 que tenemos, sumamos 5.
3 + 5 = 8. En el ábaco: bajen la cuenta de arriba (vale 5) en decenas. Ahora tenemos 3 de abajo + 5 de arriba = 8.

Paso 4 — Sumamos las centenas: Al 2 que tenemos, sumamos 1.
2 + 1 = 3. Suban 1 cuenta más de abajo en centenas. Ahora hay 3.

Resultado: Lean el ábaco de izquierda a derecha: Centenas = 3, Decenas = 8, Unidades = 6. El resultado es 386.

Vamos a sumar 567 + 385 en el ábaco. Aquí sí hay acarreo: cuando la suma en una columna supera 9, dejamos el dígito de las unidades en esa columna y llevamos 1 a la columna de la izquierda. Resultado esperado: 952.

Paso 1: Representen 567 en el ábaco.
Centenas: cuenta de arriba bajada = 5.
Decenas: cuenta de arriba bajada + 1 de abajo = 6.
Unidades: cuenta de arriba bajada + 2 de abajo = 7.

Paso 2 — Unidades: 7 + 5 = 12. Supera 9, hay acarreo.
En unidades dejamos 2: limpien la columna de unidades y suban solo 2 cuentas de abajo.
Llevamos 1 a las decenas: suban 1 cuenta más en decenas.
Decenas ahora muestra 7 (tenía 6, más el 1 que llevamos).

Paso 3 — Decenas: 7 + 8 = 15. Supera 9, hay acarreo.
En decenas dejamos 5: limpien decenas y bajen solo la cuenta de arriba (vale 5).
Llevamos 1 a centenas. Centenas tenía 5, ahora pasa a 6.

Paso 4 — Centenas: 6 + 3 = 9. No supera 9, no hay acarreo.
Pongan 9 en centenas: cuenta de arriba bajada + cuatro de abajo = 5 + 4 = 9.

Resultado: Centenas = 9, Decenas = 5, Unidades = 2. El resultado es 952.

Vamos a restar 702 − 358 en el ábaco. Aquí hay una complicación: la columna de decenas tiene 0, entonces no podemos restar directamente de ahí. Necesitamos préstamo en cadena. Resultado esperado: 344.

Paso 1: Representen 702 en el ábaco.
Centenas: cuenta de arriba bajada + 2 de abajo = 7.
Decenas: nada, es 0.
Unidades: 2 cuentas de abajo subidas.

Paso 2 — Unidades: 2 − 8. No se puede (2 es menor que 8).
Pedimos prestado a decenas. Pero decenas tiene 0, no nos puede prestar.
Entonces pedimos prestado a centenas: centenas pasa de 7 a 6.
Ese 1 de centenas vale 10 decenas, así que decenas pasa de 0 a 10.
Ahora decenas nos presta 1: decenas pasa de 10 a 9.
Unidades recibe 10: unidades pasa de 2 a 12.
Ahora sí: 12 − 8 = 4. Pongan 4 en unidades (4 cuentas de abajo).

Paso 3 — Decenas: 9 − 5 = 4. Pongan 4 en decenas.

Paso 4 — Centenas: 6 − 3 = 3. Pongan 3 en centenas.

Resultado: Centenas = 3, Decenas = 4, Unidades = 4. El resultado es 344.

Resuelvan en el ábaco: 689 + 247. Este ejercicio tiene acarreo en al menos dos columnas. Empiecen por las unidades, como siempre. Cuando terminen, verifiquen con su compañero y luego revelen la respuesta.

Pistas para guiarse:
Representen 689 en el ábaco primero.
Unidades: 9 + 7 = ... ¿supera 9? Si sí, ¿cuánto dejan y cuánto llevan?
Decenas: 8 + 4 + (lo que hayan llevado) = ... ¿supera 9?
Centenas: 6 + 2 + (lo que hayan llevado) = ...

Resuelvan en el ábaco: 1.005 − 467. Este ejercicio es un reto porque hay dos columnas con cero (centenas y decenas), lo que obliga a un préstamo en cadena desde los millares. Necesitan 4 columnas en el ábaco.

Pistas para guiarse:
Representen 1.005: Millares = 1, Centenas = 0, Decenas = 0, Unidades = 5.
Unidades: 5 − 7. ¿Se puede? Si no, ¿a quién le piden prestado?
Las decenas tienen 0 y las centenas también. Van a necesitar pedir prestado desde los millares. Es una cadena de préstamos.

Resuelvan en el ábaco: 4.321 − 1.876. Este ejercicio requiere préstamo en tres de las cuatro columnas. Es un ejercicio más largo, así que vayan columna por columna con calma. Necesitan 4 columnas.

Pistas para guiarse:
Representen 4.321: Millares = 4, Centenas = 3, Decenas = 2, Unidades = 1.
Unidades: 1 − 6. ¿Se puede?
Decenas: (lo que quede) − 7. ¿Se puede?
Centenas: (lo que quede) − 8. ¿Se puede?
Millares: (lo que quede) − 1.
Tómense el tiempo que necesiten. Verifiquen con su compañero.

Definición: Una Progresión Aritmética (PA) es una secuencia de números donde para pasar de un término al siguiente, siempre sumamos la misma cantidad. A esa cantidad fija la llamamos diferencia común, representada con la letra d.

Analogía para entenderlo: Imaginen que suben una escalera donde todos los escalones tienen exactamente la misma altura. Si cada escalón mide 15 centímetros, y parten desde el piso (0 cm), después de 1 escalón están a 15 cm, después de 2 escalones a 30 cm, después de 3 a 45 cm... Esa secuencia (0, 15, 30, 45, 60...) es una PA con diferencia común d = 15. Cada paso que dan, suben exactamente lo mismo.

Otro ejemplo cotidiano: si cada semana ahorran $5.000, y empezaron con $2.000, entonces sus ahorros semana a semana son: $2.000, $7.000, $12.000, $17.000... Eso es una PA con d = 5.000.

¿Cómo encontrar d? Resten dos términos consecutivos: d = segundo término − primer término. Si la secuencia es 10, 16, 22, 28, entonces d = 16 − 10 = 6. Para verificar: 22 − 16 = 6 y 28 − 22 = 6. Siempre da lo mismo, por eso es una PA.

d puede ser negativa: Si la secuencia va bajando (por ejemplo 50, 43, 36, 29...), entonces d = 43 − 50 = −7. Es como bajar escaleras: cada paso nos lleva 7 unidades más abajo.

La fórmula del término n-ésimo:
a(n) = a(1) + (n − 1) × d

Donde:
— a(n) es el término que queremos encontrar (el término en la posición n).
— a(1) es el primer término de la secuencia.
— n es la posición del término que buscamos (1.°, 2.°, 3.°, etc.).
— d es la diferencia común.

¿Por qué (n − 1) y no simplemente n? Porque para llegar del primer término al término n, damos n − 1 saltos. Del término 1 al término 2 hay 1 salto. Del 1 al 3, hay 2 saltos. Del 1 al 10, hay 9 saltos. Siempre uno menos que la posición.

Ejemplo rápido con la fórmula: PA: 3, 7, 11, 15... a(1) = 3, d = 4.
¿Cuál es el término 20?
a(20) = 3 + (20 − 1) × 4 = 3 + 19 × 4 = 3 + 76 = 79.
Sin la fórmula, tendríamos que sumar 4 diecinueve veces. Con la fórmula, lo calculamos en un paso.

Dada la PA: 3, 7, 11, 15, ... Encontrar la diferencia común (d), el quinto término a(5) y el décimo término a(10).

Paso 1 — Encontrar d:
d = segundo término − primer término = 7 − 3 = 4.
Verificación: 11 − 7 = 4. Y 15 − 11 = 4. Correcto, siempre es 4.
d = 4. Es positiva, así que la secuencia crece.

Paso 2 — Encontrar a(5):
Usamos: a(n) = a(1) + (n − 1) × d.
a(1) = 3, n = 5, d = 4.
a(5) = 3 + (5 − 1) × 4
Primero: 5 − 1 = 4.
Luego: 4 × 4 = 16.
Finalmente: 3 + 16 = 19.
El quinto término es 19.

Verificación contando: 3, 7, 11, 15, 19. Sí, el quinto término es 19.

Paso 3 — Encontrar a(10):
a(10) = 3 + (10 − 1) × 4
Primero: 10 − 1 = 9.
Luego: 9 × 4 = 36.
Finalmente: 3 + 36 = 39.
El décimo término es 39.

En el ábaco: Si quieren verificar, representen 3 y sumen 4 nueve veces. La secuencia sería: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39. Efectivamente, el décimo es 39.

Dada la PA: 50, 43, 36, 29, ... Encontrar la diferencia común (d) y el sexto término a(6).

Paso 1 — Encontrar d:
d = 43 − 50 = −7.
Verificación: 36 − 43 = −7. Y 29 − 36 = −7. Siempre −7.
d = −7. Es negativa, la secuencia va bajando. Cada término es 7 menos que el anterior.

¿Qué significa d negativa? Es como bajar escaleras. Si cada escalón baja 7 unidades, empezando en 50, después del primer escalón estamos en 43, luego 36, luego 29... La secuencia disminuye. En el ábaco, esto significa que vamos restando 7 cada vez.

Paso 2 — Encontrar a(6):
a(6) = a(1) + (6 − 1) × d
a(6) = 50 + (6 − 1) × (−7)
Primero: 6 − 1 = 5.
Luego: 5 × (−7) = −35. Aquí multiplicamos 5 por 7 y le ponemos signo negativo.
Finalmente: 50 + (−35) = 50 − 35 = 15.
El sexto término es 15.

Verificación contando: 50, 43, 36, 29, 22, 15. Sí, el sexto es 15.

En el ábaco: Empiecen en 50 y resten 7 cinco veces. 50 → 43 → 36 → 29 → 22 → 15. El sexto término es 15.

Nota importante: Cuando d es negativa, la fórmula funciona exactamente igual. Solo hay que tener cuidado con el signo: sumar un número negativo es lo mismo que restar. a(1) + (n − 1) × d se convierte en a(1) − (n − 1) × |d| cuando d es negativa.

Problema: En una PA, el tercer término es 11 y el octavo término es 26. Encontrar el primer término a(1) y la diferencia común d.

¿Por qué es distinto? En los ejemplos anteriores nos daban la secuencia completa y podíamos ver d directamente. Aquí solo nos dan dos términos separados y debemos deducir tanto d como a(1). Este tipo de pregunta aparece en el examen de la UdeA.

Paso 1 — Plantear las ecuaciones:
Sabemos que a(n) = a(1) + (n − 1) × d.
Con el tercer término: a(3) = a(1) + (3 − 1) × d → 11 = a(1) + 2d
Con el octavo término: a(8) = a(1) + (8 − 1) × d → 26 = a(1) + 7d

Paso 2 — Encontrar d restando las ecuaciones:
Si restamos la primera ecuación de la segunda:
26 − 11 = (a(1) + 7d) − (a(1) + 2d)
15 = 7d − 2d
15 = 5d
d = 15 ÷ 5 = 3.

¿Por qué restamos? Al restar, a(1) se cancela y nos queda solo d. Entre el tercer término y el octavo hay 8 − 3 = 5 saltos. La diferencia total entre esos términos es 26 − 11 = 15. Si en 5 saltos avanzamos 15, cada salto es 15 ÷ 5 = 3.

Paso 3 — Encontrar a(1):
Usamos cualquiera de las dos ecuaciones. Tomemos la primera: 11 = a(1) + 2 × 3
11 = a(1) + 6
a(1) = 11 − 6 = 5.

Verificación: Si a(1) = 5 y d = 3, la secuencia es: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26...
El tercer término es 11. Correcto.
El octavo término es 26. Correcto.

Truco general: Si conocen el término en la posición m y el término en la posición p, entonces:
d = (a(p) − a(m)) ÷ (p − m)

Definición: Una Progresión Geométrica (PG) es una secuencia de números donde para pasar de un término al siguiente, siempre multiplicamos por la misma cantidad. A esa cantidad fija la llamamos razón, representada con la letra r.

La diferencia clave con la PA: En la PA sumamos siempre lo mismo. En la PG multiplicamos siempre por lo mismo. Son dos formas distintas de crecer.

Analogía para entenderlo: Imaginen que tienen una pelota que cada vez que rebota, sube a la mitad de la altura anterior. Si la sueltan desde 100 cm, el primer rebote llega a 50 cm, el segundo a 25 cm, el tercero a 12,5 cm... Esa secuencia (100, 50, 25, 12,5...) es una PG con razón r = 1/2 (un medio). Cada rebote, la altura se multiplica por la mitad.

Otro ejemplo: si un rumor se duplica cada hora (cada persona se lo cuenta a 2 personas), y al principio lo sabe 1 persona, después de 1 hora lo saben 2, después de 2 horas 4, después de 3 horas 8... La secuencia 1, 2, 4, 8, 16... es una PG con r = 2.

¿Cómo encontrar r? Dividan un término entre el anterior: r = segundo término ÷ primer término.
Ejemplo: en la secuencia 5, 15, 45, 135..., r = 15 ÷ 5 = 3. Verificación: 45 ÷ 15 = 3 y 135 ÷ 45 = 3.

Valores especiales de r:
— Si r > 1: la secuencia crece (ejemplo: r = 3, la secuencia se triplica cada vez).
— Si 0 < r < 1: la secuencia decrece, se va acercando a cero (ejemplo: r = 1/2).
— Si r es negativo: la secuencia alterna entre positivo y negativo (ejemplo: 2, −6, 18, −54 con r = −3). Esto es menos frecuente en el examen.

La fórmula del término n-ésimo:
a(n) = a(1) × r^(n − 1)

Donde:
— a(n) es el término en la posición n.
— a(1) es el primer término.
— r es la razón.
— r^(n − 1) significa "r elevado a la potencia (n − 1)".

¿Por qué (n − 1) y no n? Igual que en la PA: del primer término al n-ésimo, damos n − 1 multiplicaciones. Del 1.° al 2.° multiplicamos una vez. Del 1.° al 3.°, dos veces. Y así sucesivamente.

Comparación directa PA vs. PG:
PA: a(n) = a(1) + (n − 1) × d → sumamos d repetidamente.
PG: a(n) = a(1) × r^(n − 1) → multiplicamos por r repetidamente.
En la PA sumamos, en la PG multiplicamos. Esa es la regla de oro.

Dada la PG: 2, 6, 18, 54, ... Encontrar la razón (r) y el quinto término a(5).

Paso 1 — Encontrar r:
r = segundo ÷ primero = 6 ÷ 2 = 3.
Verificación: 18 ÷ 6 = 3. Y 54 ÷ 18 = 3. Siempre da 3.
r = 3. Cada término es el triple del anterior.

Paso 2 — Encontrar a(5) con la fórmula:
a(5) = a(1) × r^(5 − 1)
a(5) = 2 × 3^4

Ahora calculamos 3^4 (tres elevado a la cuarta potencia):
3^1 = 3
3^2 = 3 × 3 = 9
3^3 = 9 × 3 = 27
3^4 = 27 × 3 = 81

a(5) = 2 × 81 = 162.
El quinto término es 162.

Verificación contando: 2, 6, 18, 54, 162. Cada uno es el triple del anterior: 54 × 3 = 162. Correcto.

En el ábaco: Para calcular 3^4, pueden hacer las multiplicaciones sucesivas: empiecen con 3, multipliquen por 3 (da 9), multipliquen por 3 (da 27), multipliquen por 3 (da 81). Luego multipliquen 81 × 2 = 162.

Dada la PG: 800, 400, 200, 100, ... Encontrar la razón y los términos 5 y 6.

Paso 1 — Encontrar r:
r = 400 ÷ 800 = 0,5 (o sea, un medio, 1/2).
Verificación: 200 ÷ 400 = 0,5. Y 100 ÷ 200 = 0,5. Siempre 0,5.
r = 1/2. Cada término es la mitad del anterior. La secuencia disminuye.

¿Por qué la secuencia baja? Porque r está entre 0 y 1. Multiplicar por un número menor que 1 es dividir. Multiplicar por 1/2 es dividir entre 2. Cada término es más pequeño que el anterior, pero nunca llega a cero.

Paso 2 — Encontrar a(5):
a(5) = 800 × (1/2)^4

Calculamos (1/2)^4:
(1/2)^1 = 1/2
(1/2)^2 = 1/4 (un medio por un medio = un cuarto)
(1/2)^3 = 1/8 (un cuarto por un medio = un octavo)
(1/2)^4 = 1/16 (un octavo por un medio = un dieciseisavo)

a(5) = 800 × 1/16 = 800 ÷ 16 = 50.
El quinto término es 50.

Forma más fácil: Simplemente dividan entre 2 cada vez: 800, 400, 200, 100, 50. Cada paso dividimos entre 2.

Paso 3 — Encontrar a(6):
a(6) = 50 × 1/2 = 50 ÷ 2 = 25.
O bien: a(6) = 800 × (1/2)^5 = 800 ÷ 32 = 25.
El sexto término es 25.

En el ábaco: Dividan 800 entre 2 repetidamente. 800 ÷ 2 = 400. 400 ÷ 2 = 200. 200 ÷ 2 = 100. 100 ÷ 2 = 50. 50 ÷ 2 = 25.

Problema: En una PG, la razón es r = 2 y el sexto término es 192. Encontrar el primer término a(1).

¿Por qué es distinto? Normalmente nos dan la secuencia y de ahí sacamos r y a(1). Aquí nos dan r y un término lejano, y debemos encontrar a(1). Es la fórmula usada "al revés".

Paso 1 — Plantear la fórmula:
a(n) = a(1) × r^(n − 1)
Sabemos: n = 6, r = 2, a(6) = 192.
192 = a(1) × 2^(6 − 1)
192 = a(1) × 2^5

Paso 2 — Calcular 2^5:
2^1 = 2
2^2 = 2 × 2 = 4
2^3 = 4 × 2 = 8
2^4 = 8 × 2 = 16
2^5 = 16 × 2 = 32

Paso 3 — Despejar a(1):
192 = a(1) × 32
a(1) = 192 ÷ 32

Calculemos 192 ÷ 32:
32 × 6 = 192, entonces 192 ÷ 32 = 6.
a(1) = 6.

Verificación: Si a(1) = 6 y r = 2, la secuencia es:
6, 12, 24, 48, 96, 192...
Posición 1: 6. Posición 2: 12. Posición 3: 24. Posición 4: 48. Posición 5: 96. Posición 6: 192. Correcto.

El truco para despejar a(1): En la fórmula a(n) = a(1) × r^(n−1), si conocen a(n) y r, entonces: a(1) = a(n) ÷ r^(n−1). Es dividir el término conocido entre la potencia de r.

¿Cuál es el siguiente término de la secuencia 5, 9, 13, 17, ...?

En la PA: 8, 14, 20, 26, ... ¿cuál es el término número 15?

¿Cuál es la razón de la PG: 4, 12, 36, 108, ...?

En la PG: 5, 10, 20, 40, ... ¿cuál es el término número 7?

¿Cuál es el siguiente término de la secuencia: 2, 5, 10, 17, 26, ...?

Pista: esta no es una PA ni una PG simple. Observen las diferencias entre términos consecutivos.

En una Progresión Aritmética, el tercer término es 11 y el octavo término es 26. ¿Cuál es el primer término a(1)?

En la PA: 7, 11, 15, 19, ... ¿en qué posición se encuentra el término que vale 99? Es decir, si a(n) = 99, ¿cuánto vale n?

Un cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si al inicio hay 50 bacterias, ¿cuántas habrá después de 8 horas?

Pista: "se duplica cada hora" significa que se multiplica por 2 en cada paso. ¿Qué tipo de progresión es esta?

Complemento interactivo al ábaco Cranmer: un soroban japonés virtual (1 cuenta arriba = 5, 4 cuentas abajo = 1 cada una) que permite ejecutar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con narración de voz paso a paso. También se puede usar en modo manual para explorar libremente.

El ábaco Cranmer es un instrumento de cálculo táctil diseñado especialmente para personas con discapacidad visual. Está formado por un marco rectangular de plástico o madera con una serie de columnas verticales. Cada columna tiene cuentas (bolitas) que se deslizan hacia arriba y hacia abajo a lo largo de varillas metálicas.

Partes principales:

1. El marco: Es el rectángulo que rodea todo el ábaco. Sosténganlo con ambas manos para orientarse. La parte más larga va en posición horizontal frente a ustedes.

2. La barra separadora (riel central): Al pasar los dedos por el centro del ábaco, van a sentir una barra horizontal que divide cada columna en dos zonas: una zona superior (arriba de la barra) y una zona inferior (debajo de la barra). Esta barra tiene un felpudo o goma que hace que las cuentas se queden en su lugar cuando las mueven.

3. Zona superior — la cuenta de arriba: En cada columna, arriba de la barra, hay exactamente UNA cuenta. Esta cuenta vale 5 (cinco). Cuando la bajamos (la empujamos hacia la barra central), se activa y cuenta como 5. Cuando está arriba, lejos de la barra, no cuenta.

4. Zona inferior — las cuentas de abajo: En cada columna, debajo de la barra, hay exactamente CUATRO cuentas. Cada una vale 1 (uno). Cuando las subimos (las empujamos hacia la barra central), se activan. Cuando están abajo, lejos de la barra, no cuentan.

5. Las columnas y su valor posicional: Las columnas van de derecha a izquierda, igual que escribimos los números:
— Primera columna (extremo derecho): unidades (1)
— Segunda columna: decenas (10)
— Tercera columna: centenas (100)
— Cuarta columna: millares (1.000)
— Quinta columna: decenas de millar (10.000)
Y así sucesivamente hacia la izquierda.

Regla fundamental: Activar una cuenta = empujarla HACIA la barra central. Desactivar una cuenta = alejarla de la barra central. Cuando el ábaco está limpio (reiniciado), TODAS las cuentas están alejadas de la barra: las de arriba están arriba del todo y las de abajo están abajo del todo.

Valor máximo por columna: Si bajamos la cuenta de arriba (5) y subimos las cuatro de abajo (4), tenemos 5 + 4 = 9. El máximo que una columna puede mostrar es 9. Para representar el 10, necesitamos usar la siguiente columna a la izquierda.

Cómo limpiar el ábaco: Inclinen el ábaco ligeramente hacia ustedes. Pasen un dedo de izquierda a derecha por encima de la barra, empujando todas las cuentas superiores hacia arriba. Luego pasen un dedo de izquierda a derecha por debajo de la barra, empujando todas las cuentas inferiores hacia abajo. Ahora el ábaco está en cero.

— Ejemplo de práctica 1: Representar el número 7 —
Ubiquen la primera columna a la derecha (unidades). Bajen la cuenta de arriba hacia la barra: eso vale 5. Ahora suban dos cuentas de abajo hacia la barra: eso vale 2. Total: 5 + 2 = 7. Toquen: deben sentir la cuenta de arriba pegada a la barra y dos cuentas de abajo pegadas a la barra.

— Ejemplo de práctica 2: Representar el número 360 —
Limpien el ábaco. Vamos columna por columna de derecha a izquierda:
Unidades (primera columna): dejen todo limpio, porque el dígito es 0.
Decenas (segunda columna): suban la cuenta de arriba... perdón, bajen la cuenta de arriba, que vale 5, y suban una cuenta de abajo, que vale 1. Total: 5 + 1 = 6.
Centenas (tercera columna): suban tres cuentas de abajo. Total: 3.
Verifiquen tocando: centenas = 3, decenas = 6, unidades = 0. El número es 360.

— Ejemplo de práctica 3: Representar el número 4.825 —
Limpien el ábaco. Necesitamos cuatro columnas:
Unidades (primera columna): bajen la cuenta de arriba, que vale 5. Total: 5.
Decenas (segunda columna): suban dos cuentas de abajo. Total: 2.
Centenas (tercera columna): bajen la cuenta de arriba (vale 5) y suban tres cuentas de abajo (valen 3). Total: 5 + 3 = 8.
Millares (cuarta columna): suban cuatro cuentas de abajo. Total: 4.
Verifiquen: millares = 4, centenas = 8, decenas = 2, unidades = 5. El número es 4.825.

Vamos a sumar 478 + 356 en el ábaco. Resultado esperado: 834.

Paso 1 — Representar el primer número (478):
Limpien el ábaco completamente. Ahora representen 478:
— Centenas (tercera columna): suban cuatro cuentas de abajo hacia la barra. Verificación: tocan cuatro cuentas pegadas a la barra por debajo. Valor: 4.
— Decenas (segunda columna): bajen la cuenta de arriba hacia la barra (vale 5), luego suban dos cuentas de abajo hacia la barra (valen 2). Verificación: una cuenta pegada arriba y dos pegadas abajo. Valor: 5 + 2 = 7.
— Unidades (primera columna): bajen la cuenta de arriba hacia la barra (vale 5), luego suban tres cuentas de abajo hacia la barra (valen 3). Verificación: una cuenta pegada arriba y tres pegadas abajo. Valor: 5 + 3 = 8.
El ábaco muestra: 4 | 7 | 8. Correcto.

Paso 2 — Sumar las unidades (8 + 6):
Tenemos 8 en unidades. Debemos sumar 6. Pero 8 + 6 = 14, que es mayor que 9. No cabe en una sola columna.
Procedimiento: En unidades necesitamos dejar 4 (el dígito de las unidades de 14). Limpien la columna de unidades: suban la cuenta de arriba (aléjenla de la barra) y bajen las tres cuentas de abajo (aléjenlas de la barra). La columna queda en cero. Ahora suban cuatro cuentas de abajo hacia la barra. Unidades muestra 4.
Acarreo: llevamos 1 a las decenas. Vayan a la columna de decenas. Tenemos 7 (cinco de arriba + dos de abajo). Debemos sumarle 1: suban una cuenta más de abajo. Ahora decenas tiene: cuenta de arriba (5) + tres cuentas de abajo (3) = 8.
Estado del ábaco: _ | 8 | 4 (centenas sin cambio = 4, decenas = 8, unidades = 4).

Paso 3 — Sumar las decenas (8 + 5):
Tenemos 8 en decenas (después del acarreo). Debemos sumar 5 (el dígito de decenas de 356). Pero 8 + 5 = 13, que es mayor que 9.
Procedimiento: En decenas necesitamos dejar 3. Limpien la columna de decenas completamente: suban la cuenta de arriba y bajen las tres cuentas de abajo. Columna en cero. Suban tres cuentas de abajo hacia la barra. Decenas muestra 3.
Acarreo: llevamos 1 a las centenas. Vayan a la columna de centenas. Tenemos 4 (cuatro cuentas de abajo). Suban una cuenta más de abajo. Ahora centenas tiene cinco cuentas de abajo... Pero esperen: solo hay cuatro cuentas de abajo por columna. Cuatro ya están arriba. Entonces usamos la cuenta de arriba: bajen las cuatro cuentas de abajo (pongan todo en cero abajo) y bajen la cuenta de arriba, que vale 5. Centenas muestra 5.
Estado del ábaco: 5 | 3 | 4.

Paso 4 — Sumar las centenas (5 + 3):
Tenemos 5 en centenas (la cuenta de arriba). Debemos sumar 3 (el dígito de centenas de 356). 5 + 3 = 8. Cabe en la columna.
Procedimiento: Suban tres cuentas de abajo en centenas. Ahora centenas tiene: cuenta de arriba (5) + tres cuentas de abajo (3) = 8.
Estado final del ábaco: 8 | 3 | 4.

Resultado: Lean el ábaco de izquierda a derecha: centenas = 8, decenas = 3, unidades = 4. El resultado es 834.

Verificación: Pueden verificar restando: 834 − 478 debe dar 356, o 834 − 356 debe dar 478.

Resuelvan en el ábaco: 234 + 152.
Este ejercicio NO tiene acarreo: ninguna suma de columna pasa de 9.

Representen 234 en el ábaco y luego sumen 152 empezando por las unidades.

Resuelvan en el ábaco: 478 + 356.
Este ejercicio tiene acarreo en unidades y en decenas.

Es el mismo ejemplo del tutorial. Ahora háganlo solos, sin guía paso a paso. Recuerden: si la suma de una columna pasa de 9, dejen el dígito de las unidades y lleven 1 a la siguiente columna.

Resuelvan en el ábaco: 1.245 + 867.
Necesitan usar cuatro columnas: millares, centenas, decenas y unidades. Hay acarreo en varias columnas.

Resuelvan en el ábaco: 3.596 + 2.748.
Este ejercicio tiene acarreo en las cuatro columnas. Necesitan usar cuatro columnas y manejar con cuidado cada acarreo antes de pasar a la siguiente columna.

Vamos a restar 803 − 457 en el ábaco. Resultado esperado: 346.

Paso 1 — Representar el primer número (803):
Limpien el ábaco completamente. Representen 803:
— Centenas (tercera columna): bajen la cuenta de arriba (vale 5) y suban tres cuentas de abajo (valen 3). Verificación: cuenta de arriba pegada a la barra + tres cuentas de abajo pegadas a la barra. Valor: 5 + 3 = 8.
— Decenas (segunda columna): no toquen nada, el dígito es 0.
— Unidades (primera columna): suban tres cuentas de abajo. Valor: 3.
El ábaco muestra: 8 | 0 | 3. Correcto.

Paso 2 — Restar las unidades (3 − 7):
Tenemos 3 en unidades. Debemos restar 7. Pero 3 − 7 no se puede: 3 es menor que 7.
Necesitamos pedir prestado a la columna de la izquierda (decenas). Pero decenas tiene 0. No podemos pedir prestado a una columna que tiene 0.
Entonces pedimos prestado a la siguiente columna que tenga valor: centenas, que tiene 8.

Préstamo en cadena:
— Centenas pasa de 8 a 7. En el ábaco: bajen una cuenta de abajo en centenas (de tres bajan a dos cuentas de abajo). Ahora centenas = 5 + 2 = 7.
— Lo que pedimos de centenas vale 10 decenas. Pongan 10 en decenas. Pero 10 no cabe en una columna (máximo 9). Lo que hacemos es: ponemos 9 en decenas (bajen la cuenta de arriba que vale 5 y suban cuatro cuentas de abajo que valen 4; total 9) y le damos 1 extra a unidades.
— Unidades tenía 3, recibe 10 (la decena que falta): 3 + 10 = 13. Pero en el ábaco, unidades recibe ese 1 de la decena prestada, así que ponemos unidades en 13. Como 13 no cabe, lo pensamos así: decenas queda en 9, y unidades queda en 3 + 10 = 13. Ahora sí podemos restar.

Ahora restamos: 13 − 7 = 6. Pongan 6 en unidades: bajen la cuenta de arriba (vale 5) y suban una cuenta de abajo (vale 1). Total: 6.
Estado del ábaco: 7 | 9 | 6.

Paso 3 — Restar las decenas (9 − 5):
Tenemos 9 en decenas. Restamos 5. 9 − 5 = 4. Fácil, no necesitamos préstamo.
Procedimiento: suban la cuenta de arriba en decenas (desactívenla, aléjenla de la barra). Ahora solo quedan las cuatro cuentas de abajo. Decenas = 4.
Estado del ábaco: 7 | 4 | 6.

Paso 4 — Restar las centenas (7 − 4):
Tenemos 7 en centenas. Restamos 4. 7 − 4 = 3. No necesitamos préstamo.
Procedimiento: bajamos dos cuentas de abajo en centenas (de dos dejamos cero de abajo). Pero esperen, teníamos la cuenta de arriba (5) y dos de abajo (2) = 7. Quitamos 4: bajamos las dos de abajo (quitamos 2) y necesitamos quitar 2 más. Subimos la cuenta de arriba (la desactivamos, quitamos 5) y subimos tres cuentas de abajo (ponemos 3). Resultado: centenas tiene solo tres cuentas de abajo = 3.
Estado final: 3 | 4 | 6.

Resultado: Lean el ábaco de izquierda a derecha: centenas = 3, decenas = 4, unidades = 6. El resultado es 346.

Verificación: 346 + 457 = 803 ✓.

Resuelvan en el ábaco: 567 − 234.
Este ejercicio NO tiene préstamo: cada dígito del número de arriba es mayor que el de abajo.

Resuelvan en el ábaco: 803 − 457.
Hay préstamo en cadena: unidades no puede restar de 3, y decenas tiene 0. Deben pedir prestado desde centenas.

Es el mismo ejemplo del tutorial. Háganlo solos esta vez.

Resuelvan en el ábaco: 2.010 − 763.
Usen cuatro columnas. Hay préstamo en cadena a través de ceros: las unidades son 0 y las centenas son 0.

Resuelvan en el ábaco: 5.003 − 1.867.
Este ejercicio tiene dos ceros consecutivos (centenas = 0, decenas = 0), lo que genera un préstamo en cadena largo desde los millares. Es el tipo de resta más difícil.

Vamos a multiplicar 126 × 4 en el ábaco. Resultado esperado: 504.

Método: Multiplicamos cada dígito del primer número (126) por el multiplicador (4), empezando por las unidades, y vamos acumulando el resultado en el ábaco.

Paso 1 — Limpiar el ábaco:
El ábaco empieza en cero. Lo usaremos para ir construyendo el resultado.

Paso 2 — Multiplicar las unidades: 6 × 4 = 24:
Tenemos 24. Separen este número: 4 va a las unidades del resultado, y 2 es el acarreo que va a las decenas.
En el ábaco: suban cuatro cuentas de abajo en la columna de unidades. Unidades = 4.
Luego suban dos cuentas de abajo en la columna de decenas. Decenas = 2.
Estado: 0 | 2 | 4.

Paso 3 — Multiplicar las decenas: 2 × 4 = 8:
Pero ojo: este resultado va en la posición de las decenas (porque estamos multiplicando el dígito de las decenas). Debemos SUMAR 8 a lo que ya hay en decenas.
Decenas tenía 2. Sumamos 8: 2 + 8 = 10. Pero 10 no cabe en una columna.
Dejamos 0 en decenas: limpien la columna de decenas (bajen las dos cuentas de abajo). Decenas = 0.
Acarreo: llevamos 1 a centenas. Suban una cuenta de abajo en centenas. Centenas = 1.
Estado: 1 | 0 | 4.

Paso 4 — Multiplicar las centenas: 1 × 4 = 4:
Este resultado va en la posición de las centenas. Sumamos 4 a lo que ya hay en centenas.
Centenas tenía 1. Sumamos 4: 1 + 4 = 5. Cabe en la columna.
Suban tres cuentas más de abajo en centenas... Pero solo hay tres disponibles (una ya está arriba). Entonces: bajen las cuentas de abajo que teníamos, y bajemos la cuenta de arriba que vale 5. Centenas = 5.
Estado final: 5 | 0 | 4.

Resultado: Lean el ábaco: centenas = 5, decenas = 0, unidades = 4. El resultado es 504.

Verificación: 504 ÷ 4 = 126 ✓. También: 125 × 4 = 500, más 1 × 4 = 4, total 504.

Resuelvan en el ábaco: 45 × 3.
Empiecen por las unidades: 5 × 3, luego 4 × 3. No olviden los acarreos.

Resuelvan en el ábaco: 126 × 4.
Es el mismo del tutorial. Háganlo solos sin guía paso a paso. Recuerden el orden: unidades, luego decenas, luego centenas.

Resuelvan en el ábaco: 208 × 7.
Atención: el dígito de las decenas es cero. Cero por siete es cero, pero no olviden sumar el acarreo si lo hay.

Resuelvan en el ábaco: 345 × 6.
Cada dígito multiplicado por 6 produce un resultado de dos cifras, así que hay acarreo en cada paso. Manejen cada acarreo con cuidado antes de continuar.

Vamos a dividir 175 ÷ 5 en el ábaco. Resultado esperado: 35 (sin residuo).

Método: Para dividir en el ábaco, usamos las columnas de la derecha para el dividendo (el número que vamos dividiendo) y las columnas de la izquierda para el cociente (el resultado). Vamos trabajando de izquierda a derecha en el dividendo.

Paso 1 — Representar el dividendo (175):
Usemos las columnas 3, 2 y 1 (contando desde la derecha) para el dividendo. Y las columnas 6, 5 y 4 para el cociente.
— Columna 3 (centenas del dividendo): suban una cuenta de abajo. Valor: 1.
— Columna 2 (decenas del dividendo): bajen la cuenta de arriba (5) y suban dos de abajo (2). Valor: 7.
— Columna 1 (unidades del dividendo): bajen la cuenta de arriba (5). Valor: 5.
Dividendo en el ábaco: 1 | 7 | 5.

Paso 2 — Dividir empezando por la izquierda:
Miramos el primer dígito del dividendo: 1 (en la columna de centenas).
¿Cuántas veces cabe 5 en 1? Cero veces, porque 1 es menor que 5.
Como no cabe, juntamos este dígito con el siguiente: 1 y 7 forman 17.

Paso 3 — ¿Cuántas veces cabe 5 en 17?
5 × 3 = 15. 5 × 4 = 20 (demasiado). Cabe 3 veces.
Pongan 3 en la columna de decenas del cociente (columna 5 desde la derecha): suban tres cuentas de abajo.
Residuo parcial: 17 − 15 = 2. Ahora debemos actualizar el dividendo: limpien la columna de centenas (bajen la cuenta). Pongan 2 en la columna de decenas del dividendo: suban las dos cuentas de abajo que ya estaban... Esperen, teníamos 7 en decenas. Necesitamos reemplazarlo por 2. Limpien decenas del dividendo: suban la cuenta de arriba y bajen las dos de abajo. Ahora suban dos cuentas de abajo. Decenas del dividendo = 2.
Dividendo actualizado: 0 | 2 | 5.

Paso 4 — Bajar el siguiente dígito:
Juntamos el 2 de decenas con el 5 de unidades: forman 25.
¿Cuántas veces cabe 5 en 25? Exactamente 5 veces. 5 × 5 = 25.
Pongan 5 en la columna de unidades del cociente (columna 4 desde la derecha): bajen la cuenta de arriba (vale 5). Cociente unidades = 5.
Residuo: 25 − 25 = 0. Limpien lo que queda del dividendo.

Resultado: Lean el cociente: decenas = 3, unidades = 5. El resultado es 35, con residuo 0.

Verificación: 35 × 5 = 175 ✓. La división es exacta.

Resuelvan en el ábaco: 96 ÷ 4.
Representen 96 en el ábaco. Empiecen por la izquierda: ¿cuántas veces cabe 4 en 9? Luego continúen con lo que queda.

Resuelvan en el ábaco: 175 ÷ 5.
Es el mismo del tutorial. Háganlo solos esta vez. Recuerden: trabajen de izquierda a derecha.

Resuelvan en el ábaco: 259 ÷ 6.
Atención: esta división NO es exacta. Va a sobrar algo, que llamamos residuo. Encuentren el cociente y el residuo.

Resuelvan en el ábaco: 1.344 ÷ 8.
Es un dividendo de cuatro dígitos. Necesitan más columnas y aplicar el mismo proceso de izquierda a derecha.

Un estudiante tiene 45.000 pesos. Compra un libro de 18.500 pesos y un cuaderno de 7.200 pesos. ¿Cuánto dinero le queda?

Pista: pueden sumar primero lo que gastó y luego restar del total. Usen el ábaco con las columnas necesarias.

En una biblioteca hay 8 estantes. Cada estante tiene 35 libros. ¿Cuántos libros hay en total en la biblioteca?

Se reparten 156 lápices entre 12 estudiantes por igual. ¿Cuántos lápices recibe cada estudiante?

Pista: si dividir entre 12 parece difícil, piensen que 12 × 10 = 120 y vayan subiendo.

En el mercado, una familia compra 4 kilogramos de arroz a 3.200 pesos cada kilogramo, y 3 kilogramos de fríjol a 4.500 pesos cada kilogramo. Si pagan con un billete de 50.000 pesos, ¿cuánto les devuelven?

Deben hacer multiplicaciones primero, luego una suma y finalmente una resta. Usen el ábaco para cada operación.

Un producto en una tienda del centro de Medellín cuesta $80.000. El proveedor anuncia un aumento del 25%. ¿Cuál es el nuevo precio del producto?

En una obra de construcción en Bello, 4 trabajadores construyen un muro en 6 días. Si se contrata el doble de trabajadores, es decir 8, ¿en cuántos días terminarán el mismo muro, trabajando al mismo ritmo?

Un profesor de la UdeA afirma: "Si un estudiante estudia con dedicación, entonces aprueba el examen." Se sabe que Juliana no aprobó el examen. ¿Qué se puede concluir con certeza?

Observa la siguiente serie numérica: 3, 7, 15, 31, 63, ___. ¿Cuál es el número que sigue en la serie?

En una bolsa hay 3 canicas rojas, 2 canicas azules y 1 canica verde. Si se saca una canica al azar, ¿cuál es la probabilidad de que NO sea roja?

En una encuesta realizada a 120 estudiantes de un colegio de Envigado, se encontró que: 70 eligieron matemáticas, 55 eligieron ciencias y 20 eligieron ambas materias. ¿Cuántos estudiantes no eligieron ninguna de las dos materias?

Cinco amigos (Ana, Beatriz, Carlos, David y Elena) hacen fila para entrar a un evento en el Parque Explora. Se sabe que: Ana está en la primera posición. Beatriz está justo después de Ana. David está en la última posición. Elena no está al lado de David. ¿Quién está en la posición 3 (la del medio)?

Para preparar 12 empanadas antioqueñas se necesitan 3 tazas de harina de maíz. Si quieres preparar 40 empanadas para una reunión familiar, ¿cuántas tazas de harina necesitas?

Tres socios abrieron un negocio de comidas rápidas en Itagüí. Ana invirtió $200.000, Luis invirtió $300.000 y Miguel invirtió $500.000. Si al final del mes obtuvieron una ganancia total de $360.000, y la reparten proporcionalmente a su inversión, ¿cuánto recibe Miguel?

En un mapa de Antioquia, la escala indica que 2 cm representan 35 km de distancia real. Si la distancia entre dos municipios en el mapa mide 5,4 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellos?

Para terminar una obra del Metro de Medellín, 6 trabajadores necesitan 20 días. Pero el contratista necesita entregar la obra en solo 12 días. ¿Cuántos trabajadores debe contratar en total?

En una fábrica de confección en El Hueco, 8 trabajadores que laboran 6 horas diarias durante 5 días producen 240 camisetas. ¿Cuántas camisetas producirán 12 trabajadores que laboran 8 horas diarias durante 3 días?

Camila tiene ahorrados $180.000 para el semestre. Gasta el 35% en materiales de estudio. ¿Cuánto dinero le queda?

El tiquete del Metro de Medellín cuesta $2.800. Primero se aplica un aumento del 12% por ajuste tarifario. Luego, a los estudiantes se les hace un descuento del 25% sobre el nuevo precio. ¿Cuánto paga un estudiante por el tiquete?

En un curso de la UdeA, la nota final se calcula así: primer parcial vale 30%, segundo parcial vale 30% y examen final vale 40%. Santiago sacó 3,8 en el primer parcial y 4,2 en el segundo. ¿Cuál es la nota mínima que necesita en el examen final para obtener un promedio de al menos 3,5?

Un computador portátil en un almacén del centro de Medellín cuesta $1.500.000. Primero le suben el precio un 20% y luego le aplican un descuento del 20%. ¿El precio final es igual al original?

En una tienda de ropa en El Hueco, un letrero dice: "¡30% de descuento! Precio con descuento: $49.000." ¿Cuál era el precio original de la prenda antes del descuento?